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속도가 점점 빨라진다? ‘가속도의 법칙’

  • 2015.08.20.
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20150820_한수원_가속도의법칙_01

 

카누라고 아시나요?

소규모의 인원이 한 줄로 앉아 노를 저을 수 있는 작은 배인데요. 빠르게 노를 저어 결승점에 먼저 도달하는 팀이 우승하는 카누 대회까지 열릴 정도로 인기 있고, 한 여름 무척이나 즐기기 좋은 스포츠입니다.

이 얘기를 하는 이유는 오늘 소개해드릴 주제와 관련이 있기 때문인데요. 노를 저으면 배가 나아갑니다. 이 때, 빠르게 저으면 저을수록 배의 속력은 점점 더 빨라집니다. 노를 저으면 왜 배는 더 빨리 갈까요?

이런 당연하다 생각하는 것에도 호기심을 가지고 원리와 법칙에 대해 탐구하고 고민한 사람들이 있습니다.
오늘 소개해 드릴 물체에 작용하는 힘의 법칙은 뉴턴의 제2법칙 ‘가속도의 법칙’입니다.

 

20150820_한수원_가속도의법칙_02

 

◆ 가속도의 법칙

가속도의 법칙은 1687년에 뉴턴이 <자연철학의 수학적 원리(프린키피아)>에서 발표한 자신의 두 번째 운동법칙입니다.

‘가속도’는 운동 상태가 변하는 정도를 나타내는 것으로써, 시간에 따라 속력이 변하는 비율을 의미합니다. ‘가속도의 법칙’은 질량을 가진 물체에 힘이 작용하면 물체가 이 물체의 속도가 변한다는 것이며, 힘에 비례하고 물체의 질량에 반비례한다고 합니다. 일반적으로 큰 힘이 작용하면 가속도도 커지며, 같은 크기의 힘이 작용하더라도 물체의 질량에 따라 가속도는 달라집니다.

이때 ‘힘’을 물체의 운동 상태의 변화를 일으키는 요인으로 정의했지만, 힘의 실체는 잘 모르더라도 뭔가 물체의 운동 상태를 바꾸는 요소가 있다면 그것이 바로 물리적인 힘이라 말하며, 정작 그 힘이 구체적으로 무엇인지는 말하지 않았습니다. 어떻게 보면 힘의 개념을 그 기능적 측면으로만 정의한 셈입니다.

같은 힘으로 무거운 바위와 가벼운 계란을 각각 밀어 본다고 가정해 보겠습니다. 더 쉽고, 더 빠르게 움직일 수 있는 것은 무엇일까요? 당연히 예상하셨던 ‘계란’입니다. 이처럼 질량이 클수록 움직이는 데 더 큰 힘의 작용이 필요하며, 속도를 변화시키기도 어렵습니다.

물체의 질량이 클수록 관성이 크기 때문에 질량은 운동의 변화를 방해하는 역할을 하며, 질량은 곧 관성의 크기를 나타낸다고 할 수 있습니다. 이처럼 물체에 작용한 힘과 물체의 질량 및 가속도 사이에는 ‘힘[F] = 질량[m]×가속도[a]’라는 공식이 성립합니다. 이때 힘의 단위는 뉴턴[N]으로 표시합니다.

이 간단한 공식은 현재 인류가 가장 많이 사용하는 공식 가운데 하나입니다. 대포에서 쏜 포탄이 날아가는 경로를 구하거나, 브레이크를 밟았을 때 자동차가 움직이는 거리를 구할 때도 이 공식을 이용한다고 합니다.

만약에 힘이 작용하지 않으면 공식에 의하여 힘이0이면 속도도0이 됩니다. 즉 정지한 물체는 계속 정지해 있을 것이고, 운동하는 물체는 그 속도로 계속 운동할 것이다. 이것은 관성에 법칙에 위배되는데, 뉴턴은 제2법칙에서 힘이란 운동 상태의 변화를 주는 요인이라고 정의하고 있으므로 관성의 법칙은 가속도의 법칙의 특수한 경우라고 할 수 있다.

 

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◆ 등가속도 운동

뉴턴의 제2법칙의 F=ma에 의하면 힘이 일정하게 작용하는 경우 물체의 속도는 일정한 비율로 증가하며, 이런 경우를 등가속도 운동이라고 합니다. 그의 운동방정식에 따르면 일정한 가속도는 일정한 힘을 의미하며, 지표면에서는 모든 물체에 보편적으로 만유인력이 작용해, 아래 방향으로 등가속도 운동을 한다고 합니다.

등가속도 운동은 갈릴레이에 의해 정의되었다고 합니다. 그는 빗면 실험을 통해 물체가 빗면을 따라 움직인 거리는 시간의 제곱에 비례한다는 결과를 얻었습니다. 그리고 이는 물체의 질량에 상관없이 항상 똑같은 결과치를 보였다고 합니다.

질량이 다른 두 물체가 동시에 떨어진다는 생각은 아리스토텔레스의 관념에 정면으로 위배됩니다. 당시 중세를 지배했던 아리스토텔레스의 관점에 의하면 무거운 물체는 그 무거움의 본질이 지구 중심에 있으므로 아래로 떨어지고, 가벼운 물체는 그 가벼움의 본질이 허공에 있으므로 위로 날아간다고 생각했다고 합니다.

갈릴레이는 간단한 추론으로 아리스토텔레스의 생각을 허물었습니다. 만약 가벼운 물체 A와 무거운 물체 B를 쇠줄로 연결해서 떨어뜨리면 어떻게 될까요?

1. 쇠줄로 연결하지 않았다면 A는 B보다 천천히 낙하할 것입니다.

2. 그런데 무거운 B가 쇠줄로 달려 있으니 A는 혼자 떨어질 때보다 더 빨리 떨어질 것이다.

3. 반면에 같은 이치로, B는 가벼운 A가 묶여 있으므로 혼자 떨어질 때보다는 더 천천히 떨어질 것이다.

4. 결국 ‘A와 B’는 A의 자유낙하 속도와 B의 자유낙하 속도 사이 중간쯤 되는 속도로 떨어진다.

5. 그러나 A와 B를 묶은 시스템을 하나의 새로운 전체 시스템 C로 보면 C는 A나 B보다 더 무거운 물체이므로 A나 B보다 더 빨리 떨어질 것이다. 이는 명백히 모순입니다.

갈릴레이는 아직 힘의 개념을 도입하지도 않았고, 미분 같은 고등수학을 개발하지도 않은 채로 이와 같은 결론에 이르렀습니다. 이렇게 그는 지표면에서의 투사체 운동을 수직방향의 등가속도 운동과 수평방향의 등속 운동으로 인해 투사체가 포물선 궤적을 그릴 것임을 밝히기도 했습니다.

 

오늘은 뉴턴의 힘의 제2법칙 ‘가속도의 법칙’에 대해서 알아보았습니다.

우리가 의식하지 않고, 당연시 여기는 수많은 것들을 당시의 지식수준으로 이렇게 보편적인 법칙을 만들어 과학적으로 풀어내는 옛 과학자들의 열정과 호기심에 다시 한 번 감탄하게 됩니다. 유익한 시간 되셨기를 바라며, 더욱더 유익한 이야기로 찾아뵙겠습니다.

 

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